Vecteurs : somme, projection, produit scalaire et vectoriel

Une grandeur scalaire (masse, durée) n'a qu'une valeur. Une grandeur vectorielle (force, vitesse, déplacement) possède une valeur (norme), une direction et un sens. On la note avec une flèche. Dans le plan, un vecteur s'écrit par ses composantes : a = (a_x ; a_y).

Norme et somme

La norme de a = (3 ; 4) vaut √(3² + 4²) = 5. La somme se fait composante par composante : (3 ; 4) + (1 ; −2) = (4 ; 2), de norme √20 ≈ 4,47. Deux forces de 30 N et 40 N perpendiculaires donnent une résultante de 50 N. Attention : les normes ne s'additionnent que si les vecteurs sont de même direction et de même sens.

Projection

Projeter un vecteur sur une direction, c'est trouver sa composante dans cette direction. Le poids d'un skieur de 80 kg (≈ 785 N) sur une pente de 10° se décompose en P sin 10° ≈ 136 N le long de la pente et P cos 10° ≈ 773 N perpendiculairement à celle-ci.

Produit scalaire

a · b = a_xb_x + a_yb_y = ‖a‖ ‖b‖ cos θ. Le résultat est un nombre. Il vaut 0 si les vecteurs sont perpendiculaires. La composante de a sur la direction de b vaut a · b / ‖b‖. Le travail d'une force constante est le produit scalaire de la force par le déplacement : W = F · d = F d cos θ. Une force de 100 N inclinée de 30° sur un déplacement horizontal de 10 m fournit W = 100 × 10 × cos 30° ≈ 866 J. Pour retrouver l'angle entre deux vecteurs : cos θ = a · b / (‖a‖ ‖b‖).

Produit vectoriel

Le produit vectoriel a × b est un vecteur perpendiculaire aux deux premiers, de norme ‖a‖ ‖b‖ sin θ. Il est nul si les vecteurs sont parallèles. En 2D, on retient le calcul de la composante perpendiculaire au plan : (a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x. Il sert pour le moment d'une force : M = r × F. Une force de 200 N appliquée perpendiculairement à 0,3 m de l'axe d'une articulation exerce un moment de 60 N·m. Le sens du résultat suit la règle de la main droite. L'ordre compte : a × b = −(b × a).

Résumé de choix

Je veux un nombre mesurant l'alignement ou le travail : produit scalaire.
Je veux un effet de rotation : produit vectoriel.

🎯 À retenir

Un vecteur a une norme, une direction et un sens.
Somme composante par composante ; les normes ne s'additionnent pas en général.
Produit scalaire : a·b = ax bx + ay by = ‖a‖‖b‖ cos θ (nombre).
Produit scalaire nul : vecteurs perpendiculaires.
Produit vectoriel : norme ‖a‖‖b‖ sin θ, perpendiculaire aux deux vecteurs.
Travail = F·d ; moment = r × F.

‖a‖ = √(ax² + ay²)

Norme

ax, ay : composantes

📌 (3 ; 4) : norme 5.

a·b = ax·bx + ay·by = ‖a‖‖b‖cos θ

Produit scalaire

θ : angle entre a et b

📌 (3;4)·(5;0) = 15.

(a×b)z = ax·by − ay·bx

Produit vectoriel 2D

composante selon l'axe perpendiculaire au plan

📌 (3;4)×(5;0) = −20.

⚠️ Erreurs fréquentes

Additionner les normes au lieu des vecteurs.
Utiliser sin à la place de cos dans le travail W = F d cos θ.
Oublier que le produit vectoriel n'est pas commutatif.

Pour s'entraîner

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