Trigonométrie : triangle rectangle et cercle trigonométrique

La trigonométrie relie les angles et les longueurs. Elle sert à décomposer une force, à calculer une pente ou à décrire un angle articulaire.

Triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, avec un angle aigu θ, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, le côté opposé fait face à θ, et le côté adjacent touche θ. On retient « SOH-CAH-TOA » :

sin θ = opposé / hypoténuse
cos θ = adjacent / hypoténuse
tan θ = opposé / adjacent

Le théorème de Pythagore s'écrit hypoténuse² = opposé² + adjacent². Un terrain de 100 m sur 50 m a une diagonale de √(100² + 50²) = √12 500 ≈ 111,8 m.

Applications chiffrées

Une rampe a une pente de 8 % : elle monte de 8 m pour 100 m horizontaux, donc tan θ = 0,08 et θ = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Un ballon est lancé à 20 m/s avec un angle de 30° : la composante horizontale est 20 × cos 30° ≈ 17,3 m/s et la verticale 20 × sin 30° = 10 m/s.

Valeurs à connaître

Angle	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	0,5	≈ 0,866	≈ 0,577
45°	≈ 0,707	≈ 0,707	1
60°	≈ 0,866	0,5	≈ 1,732
90°	1	0	non défini

Cercle trigonométrique et radians

Sur un cercle de rayon 1, un point repéré par l'angle θ a pour abscisse cos θ et pour ordonnée sin θ. Cela étend les définitions aux angles supérieurs à 90° (cos 120° = −0,5). Toujours : cos² θ + sin² θ = 1. Un radian est l'angle qui découpe sur le cercle un arc de longueur égale au rayon : 180° = π rad, donc 1 rad ≈ 57,3°. En cinématique angulaire, les vitesses s'expriment en rad/s : un tour par seconde correspond à 2π ≈ 6,28 rad/s.

Fonctions réciproques

Pour retrouver l'angle à partir des longueurs, on utilise arcsin, arccos et arctan (touches sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ de la calculatrice). Vérifiez que la calculatrice est bien en degrés ou en radians selon le besoin : c'est l'erreur la plus fréquente.

🎯 À retenir

SOH-CAH-TOA : sin = opp/hyp, cos = adj/hyp, tan = opp/adj.
Pythagore : hyp² = opp² + adj².
cos² θ + sin² θ = 1.
180° = π rad ; 1 rad ≈ 57,3°.
Pente en % = 100 × tan θ.
Vérifier le mode de la calculatrice (degrés ou radians).

Vx = V·cos θ ; Vy = V·sin θ

Composantes d'un vecteur

V : norme
θ : angle avec l'horizontale

📌 20 m/s à 30° : Vx ≈ 17,3 m/s, Vy = 10 m/s.

pente (%) = 100 · tan θ

Pente

θ : angle avec l'horizontale

📌 8 % ↔ θ ≈ 4,57°.

θ(rad) = θ(°) × π / 180

Conversion angulaire

θ : angle

📌 90° = π/2 ≈ 1,571 rad.

⚠️ Erreurs fréquentes

Calculatrice en mauvais mode (degrés / radians).
Confondre pente en % et angle en degrés (une pente de 100 % vaut 45°, pas 100°).
Inverser opposé et adjacent selon l'angle considéré.

Pour s'entraîner

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