Fonctions usuelles et lecture de graphiques

Une fonction associe à chaque valeur d'une variable x une valeur f(x). En sciences du sport, x est souvent le temps ou la charge, et f(x) une mesure (vitesse, lactatémie, puissance). Savoir lire un graphique est une compétence centrale.

Fonction affine f(x) = ax + b

Sa courbe est une droite. a est la pente (variation de f pour une augmentation de x d'une unité) et b l'ordonnée à l'origine. Si la distance d'un coureur est d = 4t + 50, il avance de 4 m par seconde et part de 50 m. Une fonction linéaire (b = 0) traduit la proportionnalité.

Fonction carré f(x) = x²

Courbe en parabole. Si la vitesse double, l'énergie cinétique ½mv² est multipliée par 4. Les forces de traînée aérodynamique, elles aussi, augmentent à peu près comme le carré de la vitesse : à 40 km/h, la traînée est environ 4 fois celle d'une vitesse de 20 km/h.

Fonction inverse f(x) = 1/x

Courbe en hyperbole, définie pour x ≠ 0. L'allure 60/v en est un exemple : plus on court vite, plus l'allure en min/km diminue, mais la relation n'est pas linéaire (de 6 à 12 km/h l'allure passe de 10 à 5 min/km ; de 12 à 18 km/h, elle passe de 5 à 3,33).

Exponentielle et logarithme

La fonction e^x (e ≈ 2,718) croît très vite et sert à modéliser la croissance ou la décroissance proportionnelle à la valeur atteinte. Une grandeur qui perd la moitié de sa valeur toutes les 20 minutes vérifie N(t) = N₀ × (1/2)^t/20 : après 60 min il reste N₀/8, soit 12,5 %. Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(e^x) = x. Le logarithme décimal log est la réciproque de 10^x : log(1 000) = 3. Règles : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(aⁿ) = n ln a. Application : pour un placement ou un gain de 5 % par période, le doublement exige 1,05ⁿ = 2, donc n = ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2 périodes.

Lire un graphique

Lire le titre, les axes et leurs unités.
Repérer l'échelle (linéaire ou logarithmique) et l'origine (l'axe commence-t-il à 0 ?).
Interpréter la pente : sur un graphe position-temps, la pente est la vitesse.
Interpréter l'aire sous la courbe (voir le chapitre sur les intégrales).
Se méfier des axes tronqués qui exagèrent une différence.

🎯 À retenir

Fonction affine : pente a et ordonnée à l'origine b.
Fonction carré : doubler x multiplie f par 4.
Fonction inverse : relation non linéaire entre allure et vitesse.
Exponentielle : variation proportionnelle à la valeur ; ln est sa réciproque.
ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a^n) = n ln a.
Toujours lire axes, unités, échelle et origine avant d'interpréter un graphique.

f(x) = a·x + b

Droite

a : pente
b : ordonnée à l'origine

📌 d = 4t + 50 : 4 m/s, départ à 50 m.

N(t) = N0 · (1/2)^(t/T½)

Décroissance par demi-vie

T½ : demi-vie
t : temps

📌 T½ = 20 min, t = 60 min : N = N0/8.

n = ln 2 / ln(1 + t)

Temps de doublement

t : taux par période

📌 t = 5 % : n ≈ 14,2 périodes.

⚠️ Erreurs fréquentes

Croire que la courbe d'une fonction carré est une droite.
Lire un graphique à axe tronqué comme s'il partait de zéro.
Confondre ln (base e) et log (base 10).

Pour s'entraîner

✅ QCM : Outils mathématiques et physiques (remise à niveau) 🃏 Fiches

Calculateurs liés

← Équations et inéquations du premier et du second degré Trigonométrie : triangle rectangle et cercle trigonométrique →