Équations et inéquations du premier et du second degré

Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui la rendent vraie. Le principe : faire la même opération des deux côtés du signe égal.

Équation du premier degré

Forme : ax + b = c. Exemple : un coureur démarre à 2 km d'un repère et avance à 3 m/s. À quel instant est-il à 2 000 + 3t = 2 300 m ? On soustrait 2 000 : 3t = 300, donc t = 100 s. Si l'abonnement coûte 15 € plus 3 € par séance et que l'on dispose de 60 €, 15 + 3n = 60 donne n = 15 séances.

Inéquations

Même méthode, avec une règle supplémentaire : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Résolvons −2x + 6 ≥ 0 : −2x ≥ −6, donc x ≤ 3 (le sens a changé). Application : une zone d'entraînement 130 ≤ FC ≤ 150 bpm s'écrit comme un intervalle [130 ; 150].

Équation du second degré

Forme : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.

Si Δ > 0 : deux solutions x = (−b ± √Δ) / (2a).
Si Δ = 0 : une solution double x = −b / (2a).
Si Δ < 0 : aucune solution réelle.

Exemple sportif : la hauteur d'un ballon lancé depuis 2 m avec une vitesse verticale de 8 m/s est h(t) = −4,9t² + 8t + 2 (avec g ≈ 9,8 m/s²). Quand touche-t-il le sol (h = 0) ? Δ = 8² − 4 × (−4,9) × 2 = 64 + 39,2 = 103,2, √Δ ≈ 10,16. On obtient t = (−8 − 10,16) / (−9,8) ≈ 1,85 s et t = (−8 + 10,16) / (−9,8) ≈ −0,22 s. La racine négative n'a pas de sens physique (avant le lancer) : on la rejette. Le ballon touche le sol à t ≈ 1,85 s.

Forme du signe

Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut : le trinôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. Si a < 0, c'est l'inverse. Le sommet est en x = −b / (2a) ; c'est le moment où la hauteur est maximale dans l'exemple précédent : t = 8/9,8 ≈ 0,82 s.

Isoler une variable dans une formule

Exemple : de P = W / t on tire t = W / P ; de E_c = ½mv², on tire v = √(2E_c / m). Faire le calcul en lettres avant d'appliquer les nombres limite les erreurs.

🎯 À retenir

Équation : même opération des deux côtés du signe égal.
Inéquation : diviser ou multiplier par un négatif inverse le sens.
Δ = b² − 4ac ; deux, une ou zéro solution réelle selon le signe de Δ.
Solutions : x = (−b ± √Δ) / (2a).
Une solution mathématique doit être vérifiée physiquement (temps négatif à rejeter).
Isoler la variable en lettres avant l'application numérique.

Δ = b² − 4ac

Discriminant

a, b, c : coefficients de ax² + bx + c = 0

📌 −4,9t² + 8t + 2 : Δ = 103,2.

x = (−b ± √Δ) / (2a)

Racines

Δ ≥ 0

📌 t ≈ 1,85 s pour le ballon (racine positive).

x_s = −b / (2a)

Sommet de la parabole

a, b : coefficients

📌 t_s = 8 / 9,8 ≈ 0,82 s.

⚠️ Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le sens d'une inégalité en divisant par un nombre négatif.
Oublier les parenthèses autour de −b dans le calcul de (−b ± √Δ)/(2a).
Garder une racine négative en physique (instant avant le début du mouvement).

Pour s'entraîner

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