Proportionnalité, pourcentages et variations

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par un coefficient constant. Si un coureur tient 12 km/h, la distance est proportionnelle à la durée : 30 min donnent 6 km. Le produit en croix permet de résoudre : 6 km en 30 min donc x km en 45 min, soit x = 6 × 45 / 30 = 9 km.

Pourcentage d'une valeur

Prendre t % d'une quantité revient à la multiplier par t/100. Un exercice à 80 % de 1RM (charge maximale pour une répétition) avec 1RM = 100 kg : 0,80 × 100 = 80 kg. Pour la fréquence cardiaque, 70 % de FCmax = 190 bpm donne 133 bpm.

Variation relative

La variation relative entre une valeur initiale V_i et une valeur finale V_f vaut (V_f − V_i) / V_i. Un squat qui passe de 80 à 92 kg progresse de 12/80 = 0,15, soit +15 %. On utilise le coefficient multiplicateur : une hausse de t % multiplie par 1 + t/100 ; une baisse de t % par 1 − t/100.

Variations successives

Les pourcentages ne s'additionnent pas, on multiplie les coefficients. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96, soit −4 % au total. Une masse maigre qui augmente de 5 % chaque année pendant 3 ans est multipliée par 1,05³ = 1,157625, soit +15,76 % et non +15 %. C'est un taux composé.

Variation réciproque

Si une performance baisse de 20 % (coefficient 0,8), pour revenir à la valeur initiale il faut multiplier par 1/0,8 = 1,25, soit +25 %. Une baisse de 20 % n'est pas compensée par une hausse de 20 %.

Points de pourcentage

Passer d'un taux de réussite aux lancers francs de 60 % à 75 % représente +15 points de pourcentage, mais une hausse relative de 15/60 = +25 %. Il faut toujours dire de quoi l'on parle.

Fréquence cardiaque de réserve

La formule de Karvonen calcule une zone d'intensité à partir de la réserve : FC cible = FC repos + p × (FCmax − FC repos). Avec FC repos = 60, FCmax = 190, p = 0,6 : 60 + 0,6 × 130 = 138 bpm. Cette méthode est plus individuelle qu'un simple pourcentage de FCmax. Les formules de type « 220 − âge » ne sont qu'une estimation grossière de FCmax, avec une forte dispersion individuelle.

🎯 À retenir

Proportionnalité : produit en croix, coefficient constant.
Hausse de t % : coefficient 1 + t/100 ; baisse de t % : 1 − t/100.
Les variations successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
Variation relative = (valeur finale − valeur initiale) / valeur initiale.
Distinguer points de pourcentage et pourcentage relatif.
Taux composé : V × (1 + t)^n.

τ = (Vf − Vi) / Vi

Variation relative

Vi : valeur initiale
Vf : valeur finale
τ : variation relative (×100 pour %)

📌 80 → 92 kg : τ = 12/80 = +15 %.

Vf = Vi × (1 + t)^n

Taux composé

t : taux par période
n : nombre de périodes

📌 +5 % par an pendant 3 ans : coefficient 1,157625.

FC cible = FCrepos + p × (FCmax − FCrepos)

Karvonen

p : fraction de la réserve (0 à 1)

📌 60 + 0,6 × (190 − 60) = 138 bpm.

⚠️ Erreurs fréquentes

Additionner les pourcentages (+20 % puis −20 % ne donne pas 0).
Confondre points de pourcentage et pourcentage.
Calculer une baisse de 20 % avec 20 % de la valeur finale au lieu de la valeur initiale.

Pour s'entraîner

✅ QCM : Outils mathématiques et physiques (remise à niveau) 🃏 Fiches

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