Dérivées et sens physique : vitesse et accélération

La dérivée mesure la vitesse de variation instantanée d'une fonction. Si x(t) est la position d'un sprinteur, la dérivée x'(t) = dx/dt est sa vitesse, et la dérivée de la vitesse est l'accélération : a = dv/dt.

De la pente moyenne à la pente instantanée

Entre deux instants, la vitesse moyenne est Δx/Δt. En rapprochant les deux instants (Δt tend vers 0), on obtient la pente de la tangente à la courbe : c'est la dérivée. Graphiquement, la dérivée est la pente locale de la courbe.

Dérivées usuelles

f(x)	f'(x)
constante k	0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
e^x	e^x
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	−sin x

Règles : (u + v)' = u' + v' ; (k·u)' = k·u' ; (u·v)' = u'v + uv'.

Exemple de mouvement

Soit x(t) = 2t² + 3t (x en m, t en s). La vitesse est v(t) = 4t + 3 : à t = 5 s, v = 23 m/s. L'accélération est a = 4 m/s², constante.

Trouver un maximum

Un extremum se situe là où la dérivée s'annule et change de signe. Pour la hauteur du ballon h(t) = 2 + 8t − 4,9t², on a h'(t) = 8 − 9,8t. La dérivée est nulle à t ≈ 0,816 s. La hauteur maximale est h = 2 + 8 × 0,816 − 4,9 × 0,816² ≈ 5,27 m. Physiquement, au sommet la vitesse verticale est nulle.

Dérivée numérique à partir de mesures

Avec un système vidéo ou un capteur, on ne dispose pas d'une formule mais d'une suite de positions x_i à intervalle régulier Δt. La différence centrée donne v_i ≈ (x_i+1 − x_i−1) / (2Δt), et l'accélération a_i ≈ (x_i+1 − 2x_i + x_i−1) / Δt². Exemple : positions 0, 2, 8, 18, 32, 50 m toutes les 1 s ; à t = 2 s, v ≈ (18 − 2)/2 = 8 m/s, accélération 4 m/s².

Attention : dériver amplifie le bruit de mesure. L'accélération calculée directement sur des données brutes est très instable ; en pratique on filtre ou on lisse les données avant de dériver.

Unités

L'unité d'une dérivée est le quotient des unités : m/s pour dx/dt, m/s² pour dv/dt, N/s pour une vitesse de montée en force.

🎯 À retenir

Dérivée = pente de la tangente = taux de variation instantané.
v = dx/dt et a = dv/dt.
(x^n)' = n x^(n−1) ; (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x ; (sin)' = cos.
Extremum : dérivée nulle avec changement de signe.
Différence centrée : v_i ≈ (x_{i+1} − x_{i−1}) / (2Δt).
Dériver des données brutes amplifie le bruit : filtrer d'abord.

v = dx/dt

Vitesse instantanée

x : position (m)
t : temps (s)

📌 x = 2t² + 3t : v = 4t + 3.

v_i ≈ (x_{i+1} − x_{i−1}) / (2Δt)

Différence centrée

Δt : pas d'échantillonnage (s)

📌 0 ; 2 ; 8 ; 18 m toutes les 1 s : v à t=2 s ≈ 8 m/s.

a_i ≈ (x_{i+1} − 2x_i + x_{i−1}) / Δt²

Accélération numérique

x_i : positions successives

📌 (18 − 16 + 2)/1 = 4 m/s².

⚠️ Erreurs fréquentes

Dériver sans respecter les unités (le résultat doit être en m/s, pas en m).
Penser qu'une dérivée nulle implique toujours un maximum (ce peut être un minimum).
Dériver deux fois des données bruitées sans filtrer.

Pour s'entraîner

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