Primitives et intégrales : aire sous la courbe et travail

Intégrer est l'opération inverse de dériver. Une primitive F de f est une fonction dont la dérivée est f. L'intégrale de a à b de f(x) dx est l'aire algébrique comprise entre la courbe de f et l'axe des abscisses, de x = a à x = b.

Primitives usuelles

f(x) = k : F(x) = kx + C
f(x) = xⁿ (n ≠ −1) : F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
f(x) = e^x : F(x) = e^x + C
f(x) = 1/x : F(x) = ln |x| + C

La constante C représente une condition initiale (position de départ, par exemple). Le calcul d'une intégrale définie utilise F(b) − F(a), où la constante s'annule.

Sens physique

L'aire sous v(t) est la distance parcourue.
L'aire sous a(t) est la variation de vitesse.
L'aire sous F(t) est l'impulsion (N·s) ; elle égale la variation de quantité de mouvement.
L'aire sous F(x) est le travail W = ∫F dx (en joules).
L'aire sous P(t) est l'énergie dépensée.

Exemples chiffrés

Un sprinteur accélère à a = 5 m/s² depuis l'arrêt : v = 5t, et x(t) = ∫5t dt = 2,5 t². Après 4 s, il a parcouru 2,5 × 16 = 40 m. Une force qui croît linéairement de 0 à 1 000 N en 0,2 s a une impulsion égale à l'aire du triangle : ½ × 0,2 × 1 000 = 100 N·s. Un ressort de raideur k = 2 000 N/m étiré de 0,1 m stocke ∫₀^0,1 2 000 x dx = 1 000 × 0,1² = 10 J. Pour une force constante de 600 N pendant 0,25 s, l'impulsion est 600 × 0,25 = 150 N·s.

Méthode des trapèzes

Avec des mesures discrètes (par exemple une plateforme de force), on approche l'aire par des trapèzes : I ≈ Σ (f_i + f_i+1)/2 × Δt. Cette méthode est simple et fiable lorsque la fréquence d'échantillonnage est élevée.

Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction sur [a ; b] vaut (1/(b − a)) × ∫ f dx. Une puissance moyenne se calcule en divisant l'énergie totale (aire sous P(t)) par la durée.

Signe de l'aire

L'aire est comptée positivement au-dessus de l'axe et négativement en dessous. Sur un graphe v(t) qui devient négatif (retour en arrière), l'intégrale donne le déplacement net et non la distance totale parcourue.

🎯 À retenir

Primitive : fonction dont la dérivée est f ; intégrale = F(b) − F(a).
Aire sous v(t) = distance ; sous a(t) = variation de vitesse.
Aire sous F(t) = impulsion (N·s) ; sous F(x) = travail (J).
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
Mesures discrètes : méthode des trapèzes.
Les aires sous l'axe sont comptées négativement.

I = ∫ F dt

Impulsion

F : force (N)
t : temps (s)

📌 600 N pendant 0,25 s : 150 N·s.

W = ∫ F dx

Travail d'une force variable

F : force (N)
x : déplacement (m)

📌 Ressort : W = ½kx² = 10 J.

I ≈ Σ (f_i + f_{i+1})/2 · Δt

Méthode des trapèzes

Δt : pas de temps

📌 f = 0 ; 100 ; 200 N, Δt = 0,1 s : I ≈ 5 + 15 = 20 N·s.

⚠️ Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration pour une primitive.
Confondre déplacement net et distance parcourue.
Utiliser des trapèzes avec une fréquence d'échantillonnage trop basse.

Pour s'entraîner

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