Probabilités élémentaires et dénombrement

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire, entre 0 (impossible) et 1 (certain). Lorsque tous les cas sont équiprobables, P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Un dé équilibré donne P(6) = 1/6 ≈ 0,167.

Règles de base

Événement contraire : P(non A) = 1 − P(A).
Union : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B).
Événements indépendants : P(A et B) = P(A) × P(B).

Exemple : un joueur réussit un penalty avec une probabilité 0,75. Probabilité de réussir au moins un tir sur trois (tirs indépendants) : 1 − 0,25³ = 1 − 0,015625 = 0,984375, soit 98,4 %.

Dénombrement

Si l'on enchaîne des choix, on multiplie les nombres de possibilités. Le nombre de façons d'ordonner n objets est n! = n × (n − 1) × ... × 1 (par exemple 5! = 120). Pour un podium de 3 places parmi 8 athlètes, l'ordre compte : 8 × 7 × 6 = 336 (arrangements). Pour choisir 5 joueurs parmi 12 sans tenir compte de l'ordre, on utilise les combinaisons : C(12, 5) = 12! / (5! × 7!) = 792.

Probabilité conditionnelle

P(A | B) = P(A et B) / P(B) est la probabilité de A sachant B. Application à un test de dépistage : prévalence 1 %, sensibilité 90 % (détecte 90 % des personnes concernées), spécificité 95 % (écarte 95 % des autres). Sur 1 000 personnes : 10 concernées, 9 détectées ; 990 non concernées, 49,5 faux positifs. Parmi les 58,5 tests positifs, seuls 9 sont vrais : la valeur prédictive positive est 9/58,5 ≈ 15 %. Un test positif ne prouve donc pas grand-chose lorsque l'événement est rare. Ce raisonnement est indispensable pour interpréter tests et dépistages.

Loi binomiale

Pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, la probabilité d'obtenir exactement k succès est C(n, k) p^k (1 − p)^n−k. Un joueur réussit 70 % de ses lancers francs ; sur 10 tirs, la probabilité d'en réussir exactement 7 vaut 120 × 0,7⁷ × 0,3³ ≈ 0,267, soit 26,7 %. L'espérance (valeur moyenne attendue) est n × p = 7 réussites.

Espérance

L'espérance d'une variable est la somme des valeurs pondérées par leur probabilité. Elle correspond à la moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions, pas au résultat d'un essai isolé.

🎯 À retenir

P(A) = cas favorables / cas possibles (équiprobabilité).
Contraire : 1 − P(A). Indépendance : P(A et B) = P(A)P(B).
Arrangements (ordre compte) : n!/(n−k)! ; combinaisons : C(n,k) = n!/(k!(n−k)!).
P(A|B) = P(A et B) / P(B).
Loi binomiale : C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) ; espérance n·p.
Un test positif a une valeur prédictive faible si l'événement est rare.

C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

Combinaisons

n : nombre d'éléments
k : nombre choisi

📌 C(12, 5) = 792.

P(X = k) = C(n,k) p^k (1 − p)^(n−k)

Loi binomiale

p : probabilité de succès
n : nombre d'essais

📌 n = 10, p = 0,7, k = 7 : 0,267.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Probabilité conditionnelle

P(B) > 0

📌 VPP ≈ 9/58,5 ≈ 15 %.

⚠️ Erreurs fréquentes

Confondre arrangement et combinaison (ordre pris en compte ou non).
Croire que la probabilité « se rattrape » après une série (erreur du joueur).
Multiplier des probabilités d'événements non indépendants.

Pour s'entraîner

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