Statistiques élémentaires : moyenne, médiane, écart-type

Ce chapitre fournit les calculs de base à maîtriser avant le cours de méthodes statistiques (qui traite ensuite de l'inférence, des tests et des intervalles de confiance). On résume ici une série de données en une valeur centrale et une mesure de dispersion.

Mesures de tendance centrale

Moyenne : somme des valeurs divisée par leur nombre.
Médiane : valeur qui coupe la série ordonnée en deux moitiés égales. Pour un nombre pair de valeurs, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
Mode : valeur la plus fréquente.

Série de cinq temps sur 60 m (en s) : 12,1 ; 11,8 ; 12,4 ; 11,9 ; 12,3. La somme vaut 60,5, donc la moyenne est 12,1 s. Une fois ordonnés (11,8 ; 11,9 ; 12,1 ; 12,3 ; 12,4), la médiane est 12,1 s. Si un sprinteur chute et réalise 15,0 s, la moyenne des six valeurs passe à 75,5/6 ≈ 12,58 s alors que la médiane vaut 12,2 s : la médiane est robuste aux valeurs extrêmes.

Dispersion

L'étendue est la différence entre maximum et minimum (ici 0,6 s). La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type en est la racine carrée et s'exprime dans l'unité de la mesure. Calcul sur l'exemple : écarts 0 ; −0,3 ; +0,3 ; −0,2 ; +0,2, carrés 0 ; 0,09 ; 0,09 ; 0,04 ; 0,04, somme 0,26.

Écart-type de population (division par n) : √(0,26/5) = √0,052 ≈ 0,228 s.
Écart-type d'échantillon (division par n − 1) : √(0,26/4) = √0,065 ≈ 0,255 s.

Pour un échantillon d'étudiants, on utilise la version avec n − 1, qui est la plus fréquente en sciences du sport.

Coefficient de variation et moyenne pondérée

Le coefficient de variation CV = écart-type / moyenne (en %) permet de comparer la dispersion de grandeurs d'unités différentes : 0,255/12,1 ≈ 2,1 %. La moyenne pondérée tient compte de coefficients : une UE notée 14 (coef. 3) et une autre 10 (coef. 2) donnent (14 × 3 + 10 × 2) / 5 = 12,4.

Représentations

L'histogramme regroupe les données par classes ; la boîte à moustaches montre médiane, quartiles et valeurs extrêmes. Un graphique doit toujours indiquer les unités et l'effectif.

Précautions

Une moyenne seule ne décrit pas une série : deux groupes peuvent avoir la même moyenne et des dispersions très différentes. Donnez toujours l'effectif n, la moyenne et l'écart-type (ou la médiane et les quartiles si la distribution est asymétrique). Pour aller plus loin, passez au module de méthodes statistiques.

🎯 À retenir

Moyenne : somme / effectif ; médiane : valeur centrale de la série ordonnée.
La médiane est robuste aux valeurs extrêmes, la moyenne non.
Écart-type : racine de la variance, même unité que la mesure.
Échantillon : diviser par n − 1 ; population : par n.
CV = écart-type / moyenne, sans unité.
Toujours indiquer n avec la moyenne et l'écart-type.

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Moyenne

n : effectif

📌 (12,1+11,8+12,4+11,9+12,3)/5 = 12,1 s.

s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) )

Écart-type d'échantillon

x̄ : moyenne
n : effectif

📌 √(0,26/4) ≈ 0,255 s.

CV = s / x̄ × 100

Coefficient de variation

s : écart-type
x̄ : moyenne

📌 0,255/12,1 ≈ 2,1 %.

⚠️ Erreurs fréquentes

Utiliser la moyenne sur une série très asymétrique avec valeurs extrêmes.
Oublier de choisir entre diviser par n ou n − 1.
Donner une moyenne sans effectif ni dispersion.

Pour s'entraîner

✅ QCM : Outils mathématiques et physiques (remise à niveau) 🃏 Fiches

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