L2
Tests statistiques : t, ANOVA, Chi² et non paramétriques
Un test statistique calcule une statistique (t, F, χ²) puis la p-value : probabilité d'observer un résultat au moins aussi extrême que celui obtenu si H0 était vraie. Si p est inférieure au seuil α (conventionnellement 0,05), on rejette H0. Erreur de type I : rejeter H0 à tort (risque α). Erreur de type II : ne pas détecter un effet réel (risque β ; puissance = 1 − β).
Choisir le test
| Question | Paramétrique | Non paramétrique |
|---|---|---|
| 2 groupes indépendants, VD quantitative | t de Student (ou Welch) | U de Mann-Whitney |
| 2 mesures appariées (pré/post) | t apparié | Wilcoxon signé |
| 3 groupes ou plus indépendants | ANOVA à un facteur | Kruskal-Wallis |
| Mesures répétées (3 temps ou plus) | ANOVA à mesures répétées | Friedman |
| 2 variables qualitatives | Chi² (Fisher si effectifs théoriques < 5) | |
Le t de Student
t = (x̄₁ − x̄₂) / erreur type de la différence. Pour deux groupes de variances inégales ou d'effectifs différents, la version de Welch est recommandée par défaut. Le t apparié travaille sur la différence individuelle post − pré, ce qui élimine la variabilité interindividuelle et augmente la puissance.
ANOVA
L'ANOVA compare plusieurs moyennes en une seule analyse (F = variance inter-groupes / variance intra-groupes) et évite la multiplication des tests t, qui gonfle le risque d'erreur de type I. Si F est significatif, on réalise des comparaisons post hoc (Tukey, Bonferroni) pour identifier les groupes différents. Conditions : indépendance, normalité des résidus, homogénéité des variances (Levene) ; pour mesures répétées, sphéricité (correction de Greenhouse-Geisser).
Chi²
Le test du Chi² d'indépendance compare les effectifs observés aux effectifs théoriques sous H0 : χ² = Σ (O − E)² / E. Exemple : lien entre pratique sportive (oui/non) et sexe dans une enquête.
Exemple chiffré de Chi² (effectifs fictifs) : pratique sportive selon le sexe, 40 pratiquants et 10 non-pratiquants chez 50 hommes, 30 et 20 chez 50 femmes. Totaux : 70 pratiquants, 30 non-pratiquants, N = 100. Effectifs théoriques : 35 et 15 dans chaque groupe. χ² = 2 × 5²/35 + 2 × 5²/15 = 1,43 + 3,33 = 4,76 avec 1 degré de liberté ; la valeur critique à 5 % est 3,84, donc p ≈ 0,03 : l'association est significative, ce qui ne dit pas qu'elle est forte (calculer aussi un V de Cramér ou un odds ratio).
Comparaisons multiples : pour k tests, on corrige α (Bonferroni : α/k). Avec 4 tests, le seuil par test devient 0,05 / 4 = 0,0125. Erreurs fréquentes : oublier de corriger les comparaisons post hoc, tester la normalité du groupe entier plutôt que celle des résidus, ou appliquer le Chi² à de petits effectifs théoriques (< 5).
🎯 À retenir
- p = probabilité des données (ou plus extrêmes) si H0 est vraie.
- Erreur de type I (α) = faux positif ; type II (β) = faux négatif ; puissance = 1 − β.
- t apparié pour pré/post, t de Welch pour deux groupes indépendants.
- ANOVA évite l'inflation du risque α ; post hoc seulement si F est significatif.
- Chi² pour deux variables qualitatives ; Fisher si effectifs théoriques faibles.
- x̄ᵢ : moyennes
- sᵢ : écarts-types
- nᵢ : effectifs
- O : effectif observé
- E : effectif théorique
⚠️ Erreurs fréquentes
- Enchaîner plusieurs tests t au lieu d'une ANOVA.
- Utiliser un t indépendant sur des données appariées.
Pour s'entraîner
✅ QCM : Méthodologie de la recherche et statistiques 🃏 Fiches
Calculateurs liés
- Moyenne, écart-type et médiane d'une série (jusqu'à 8 valeurs)
- Intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne
- Test t de Welch à partir de résumés (2 groupes indépendants)
- Taille d'effet : d de Cohen et g de Hedges
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