Corrélation et régression linéaire

La corrélation quantifie la force et le sens d'une relation entre deux variables. Le coefficient de Pearson (r) mesure la relation linéaire entre deux variables quantitatives de distribution approximativement normale ; r varie de −1 à +1. Le coefficient de Spearman (ρ) utilise les rangs : il convient aux variables ordinales, aux distributions non normales ou aux relations monotones non linéaires.

Repères d'interprétation (Cohen) : |r| ≈ 0,1 faible, 0,3 modéré, 0,5 fort. Hopkins propose 0,1 / 0,3 / 0,5 / 0,7 / 0,9 pour faible, modéré, grand, très grand et quasi parfait. Le coefficient de détermination r² indique la part de variance de Y partagée avec X : r = 0,70 correspond à r² = 0,49, soit 49 %.

Corrélation n'est pas causalité

Une corrélation peut venir d'une cause commune (l'âge explique à la fois la taille et le temps au sprint chez l'enfant), d'une causalité inverse ou du hasard. Les valeurs extrêmes (outliers) peuvent créer ou détruire une corrélation : visualiser toujours le nuage de points. Un r calculé sur un échantillon restreint en amplitude (groupe homogène) est atténué.

Régression linéaire simple

La régression modélise Y = a + b × X, par la méthode des moindres carrés. La pente b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² indique la variation moyenne de Y pour une unité de X. L'ordonnée à l'origine a = ȳ − b·x̄. L'erreur standard de l'estimation (SEE) mesure l'écart typique des points à la droite.

Conditions : linéarité, indépendance, homoscédasticité (dispersion constante des résidus), normalité des résidus. Ne pas extrapoler hors de l'intervalle des X observés.

Exemple : en STAPS, on prédit la VO2max à partir de la performance à un test de terrain (Léger, Yo-Yo). L'équation dépend de la population étudiée et ne doit pas être appliquée à un autre groupe sans validation croisée.

La régression multiple intègre plusieurs prédicteurs ; les variables explicatives très corrélées entre elles posent un problème de colinéarité.

🎯 À retenir

Pearson pour relation linéaire (variables quantitatives), Spearman pour rangs ou non-normalité.
r² = proportion de variance partagée.
Corrélation n'est pas causalité : facteur commun, causalité inverse, hasard.
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus.
Ne pas extrapoler hors du domaine observé et vérifier les résidus.

r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √[Σ(x − x̄)² × Σ(y − ȳ)²]

Corrélation de Pearson

x, y : paires de valeurs
x̄, ȳ : moyennes

📌 Si r = 0,80 alors r² = 0,64 : 64 % de variance partagée.

ŷ = a + b·x ; b = Sxy / Sxx ; a = ȳ − b·x̄

Droite de régression

b : pente
a : ordonnée à l'origine

📌 b = 30 m par mL/kg/min ; a = −200 ; x = 50 : ŷ = 1300 m.

⚠️ Erreurs fréquentes

Tirer une conclusion causale d'un r élevé.
Calculer r sans regarder le nuage de points.

Pour s'entraîner

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