Distribution normale et intervalles de confiance

La loi normale (gaussienne) a une courbe en cloche symétrique définie par sa moyenne μ et son écart-type σ. Dans une distribution normale, environ 68 % des valeurs se situent à ± 1 σ, 95 % à ± 1,96 σ (souvent arrondi à 2) et 99,7 % à ± 3 σ.

La note z (valeur centrée réduite) exprime l'écart à la moyenne en nombre d'écarts-types : z = (x − μ) / σ. Elle permet de comparer des performances de natures différentes (par exemple un saut et un sprint) et de situer un sportif par rapport à une norme.

Vérifier la normalité

Avec histogramme et diagramme Q-Q, on évalue visuellement la forme. Les tests de Shapiro-Wilk ou de Kolmogorov-Smirnov complètent l'examen, mais attention : sur de petits échantillons ils manquent de puissance, et sur de grands échantillons ils détectent des écarts triviaux. Les tests paramétriques sont assez robustes si la distribution est approximativement symétrique et si n n'est pas très petit.

Théorème central limite

La distribution des moyennes d'échantillons tend vers une loi normale quand n augmente, même si la variable d'origine n'est pas normale. C'est ce qui justifie l'usage des tests t sur des effectifs modérés.

Intervalle de confiance (IC)

L'IC à 95 % de la moyenne est : x̄ ± t(α, n−1) × s / √n. Pour n grand, t tend vers 1,96. Interprétation correcte : si on répétait l'étude un grand nombre de fois, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie valeur de la population. Ce n'est pas « 95 % de probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle précis » (lecture bayésienne qui n'est pas celle de la statistique fréquentiste).

Plus n est grand, plus l'IC est étroit. Un IC large signale une estimation imprécise. L'IC apporte plus d'information que la p-value : il donne l'ordre de grandeur de l'effet et la précision.

Exemple : n = 20, x̄ = 50 mL/kg/min, s = 5. ETM = 1,12 ; t(19) = 2,093 ; IC95 % = 50 ± 2,34, soit [47,7 ; 52,3].

🎯 À retenir

Loi normale : 68 % à ±1 σ, 95 % à ±1,96 σ, 99,7 % à ±3 σ.
La note z standardise une valeur : z = (x − μ) / σ.
Le théorème central limite justifie l'usage de tests sur les moyennes.
IC95 % = x̄ ± t × s / √n ; il se rétrécit avec n.
L'IC informe sur la grandeur et la précision de l'effet, ce que la p-value ne fait pas.

z = (x − μ) / σ

Note z

x : valeur individuelle
μ : moyenne de référence
σ : écart-type de référence

📌 Saut de 45 cm, norme 38 ± 5 cm : z = 1,4.

IC = x̄ ± t(0,05 ; n−1) × s / √n

IC95 % de la moyenne

t : valeur critique de la loi t
s : écart-type
n : effectif

📌 n = 20, x̄ = 50, s = 5 : [47,7 ; 52,3].

⚠️ Erreurs fréquentes

Interpréter l'IC 95 % comme « 95 % des sujets sont dans l'intervalle » : c'est l'intervalle de prédiction ou ± 1,96 SD.

Pour s'entraîner

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