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Statistiques descriptives : tendance centrale et dispersion
Les statistiques descriptives résument un jeu de données par quelques indicateurs.
Tendance centrale
- Moyenne : somme des valeurs divisée par n. Sensible aux valeurs extrêmes.
- Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Robuste aux valeurs aberrantes ; adaptée aux distributions asymétriques (temps de réaction, salaires, charges d'entraînement).
- Mode : valeur la plus fréquente, utile pour les variables qualitatives.
Dispersion
- Étendue (max − min) : très sensible aux extrêmes.
- Variance et écart-type (SD, s) : mesure de la dispersion autour de la moyenne. On divise par n − 1 pour l'estimation sur échantillon (correction de Bessel).
- Écart interquartile (Q3 − Q1) : dispersion associée à la médiane.
- Coefficient de variation (CV) : s / moyenne × 100, sans unité, permet de comparer des variabilités entre variables d'unités différentes.
Le CV n'a de sens que pour une échelle de rapport (zéro absolu) : il serait absurde sur des températures en °C.
Représentations
Histogramme (distribution), boîte à moustaches (médiane, quartiles, valeurs extrêmes), nuage de points (deux variables quantitatives), diagramme en barres avec barres d'erreur. Toujours préciser si les barres montrent l'écart-type (dispersion des individus) ou l'erreur type/IC (précision de l'estimation de la moyenne).
Exemple : sur 8 sauts verticaux (cm) 32,5 ; 34,1 ; 31,8 ; 35,2 ; 33,4 ; 36,0 ; 30,9 ; 34,7, la moyenne est environ 33,6 cm et l'écart-type environ 1,75 cm, soit un CV d'environ 5,2 %.
Exemple de robustesse (valeurs fictives) : cinq temps de réaction 0,21 ; 0,22 ; 0,23 ; 0,24 et 0,80 s. La moyenne vaut 1,70 / 5 = 0,34 s, alors que la médiane vaut 0,23 s : une seule valeur extrême déplace la moyenne de 0,11 s. Détail pour les 8 sauts ci-dessus : somme 268,6 cm, moyenne 33,575 cm ; somme des carrés des écarts ≈ 21,56 ; 21,56 / 7 ≈ 3,08 ; s = √3,08 ≈ 1,75 cm ; CV = 1,75 / 33,575 ≈ 5,2 %.
Erreurs fréquentes : rapporter trop de décimales (33,5750 cm suggère une précision que l'instrument n'a pas) ; écrire « ± » sans dire s'il s'agit de l'écart-type, de l'erreur type ou de l'IC ; calculer un CV sur des données sans zéro absolu ; résumer une distribution très asymétrique par une moyenne seule.
Convention de présentation : « 33,6 ± 1,8 cm » (moyenne ± SD). Préciser que ± représente bien l'écart-type.
🎯 À retenir
- Moyenne pour les distributions symétriques, médiane pour les asymétriques.
- L'écart-type d'échantillon se calcule avec n − 1 au dénominateur.
- CV = SD / moyenne × 100, valable uniquement pour une échelle de rapport.
- SD décrit les individus ; l'erreur type décrit la précision de la moyenne.
- Indiquer la signification du ± dans tout tableau ou graphique.
- xᵢ : valeurs observées
- n : effectif
- x̄ : moyenne
- n − 1 : degrés de liberté
- s : écart-type
- x̄ : moyenne
⚠️ Erreurs fréquentes
- Utiliser n au lieu de n − 1 sur un échantillon : la dispersion est sous-estimée.
Pour s'entraîner
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Calculateurs liés
- Moyenne, écart-type et médiane d'une série (jusqu'à 8 valeurs)
- Intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne
- Test t de Welch à partir de résumés (2 groupes indépendants)
- Taille d'effet : d de Cohen et g de Hedges
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