Nombres, puissances de 10 et notation scientifique

Un étudiant en STAPS manipule des grandeurs très différentes : une fréquence cardiaque de 60 battements par minute, une force de 2 000 N, une durée de 0,0032 s lors d'un temps de réaction. La notation scientifique et les puissances de 10 servent à écrire proprement ces nombres et à éviter les erreurs de virgule.

Définition

Une puissance de 10 s'écrit 10ⁿ. Pour n positif, c'est 1 suivi de n zéros (10³ = 1 000). Pour n négatif, c'est l'inverse : 10⁻² = 1/100 = 0,01. Par convention, 10⁰ = 1. Un nombre en notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.

Exemples : un marathon mesure 42,195 km = 4,2195 × 10⁴ m. Une durée de 3,2 ms vaut 3,2 × 10⁻³ s.

Règles de calcul

Produit : 10^a × 10^b = 10^a+b (10³ × 10⁻² = 10¹).
Quotient : 10^a / 10^b = 10^a−b.
Puissance de puissance : (10^a)^b = 10^a×b.
Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les coefficients et on additionne les exposants : (3 × 10²) × (4 × 10³) = 12 × 10⁵ = 1,2 × 10⁶.

Préfixes du système international

Préfixe	Symbole	Facteur
giga	G	10⁹
méga	M	10⁶
kilo	k	10³
centi	c	10⁻²
milli	m	10⁻³
micro	µ	10⁻⁶

Exemple sportif

Un cœur à 70 bpm bat 70 × 60 × 24 = 100 800 fois par jour, soit environ 1,0 × 10⁵ battements. Sur une année : 1,008 × 10⁵ × 365 ≈ 3,7 × 10⁷. Savoir passer d'une échelle à l'autre permet de repérer immédiatement un résultat absurde.

Chiffres significatifs et arrondi

Les chiffres significatifs sont les chiffres dont on est raisonnablement sûr. Un chronomètre manuel donne 12,3 s (3 chiffres significatifs) : écrire un résultat calculé 12,34567 s n'a aucun sens. On arrondit uniquement à la fin du calcul, pas à chaque étape, sinon les erreurs s'accumulent. Dans un produit ou un quotient, on conserve autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.

Priorités opératoires

On calcule dans l'ordre : parenthèses, puissances, multiplications et divisions (de gauche à droite), puis additions et soustractions. Ainsi 2 + 3 × 4 = 14 et non 20.

🎯 À retenir

Notation scientifique : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.
Produit : on additionne les exposants ; quotient : on les soustrait.
10^-3 = 0,001 ; kilo = 10^3, milli = 10^-3, micro = 10^-6.
On arrondit à la fin du calcul et on garde un nombre cohérent de chiffres significatifs.
Respecter les priorités opératoires : parenthèses, puissances, × ÷, puis + −.

10^a × 10^b = 10^(a+b)

Produit de puissances de 10

a, b : entiers relatifs

📌 10^3 × 10^-2 = 10^1 = 10 ; (3×10^2) × (4×10^3) = 1,2×10^6.

10^a / 10^b = 10^(a−b)

Quotient de puissances de 10

a, b : entiers relatifs

📌 10^6 / 10^3 = 10^3 : 1 MJ = 1 000 kJ.

⚠️ Erreurs fréquentes

Écrire 10^-2 = -100 : un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif (10^-2 = 0,01).
Arrondir à chaque étape intermédiaire et obtenir un résultat final faux.

Pour s'entraîner

✅ QCM : Outils mathématiques et physiques (remise à niveau) 🃏 Fiches

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