MRU, MRUA et mouvement de projectile

Deux modèles de base servent à résoudre une grande partie des problèmes de cinématique : le MRU (accélération nulle) et le MRUA (accélération constante).

Équations du MRUA

v = v₀ + a·t
x = x₀ + v₀·t + ½·a·t²
v² = v₀² + 2·a·(x − x₀)

Ces relations ne sont valides que si a est constante sur l'intervalle. Une phase d'accélération de sprint ne l'est qu'approximativement.

Projectile en chute libre

Un corps lancé, en négligeant l'air, n'est soumis qu'à son poids : accélération horizontale nulle, verticale −g (g ≈ 9,81 m·s⁻²). Avec une vitesse initiale v₀ à l'angle θ : vx = v₀cosθ (constante), vy = v₀sinθ − g·t.

Temps de montée : t = v₀sinθ / g
Hauteur maximale (au-dessus du point de lâcher) : (v₀sinθ)² / (2g)
Portée à altitude égale : R = v₀²·sin(2θ) / g, maximale à 45°

Angle optimal en situation réelle

Si le lâcher se fait au-dessus du sol (poids, javelot), l'angle optimal est inférieur à 45° : tan θ = v₀ / √(v₀² + 2·g·h). En saut en longueur, l'athlète ne maîtrise pas librement l'angle : un angle d'envol de 18 à 22° est typique car la vitesse horizontale d'élan serait sacrifiée par un angle plus élevé. En lancer de poids, on observe plutôt 33 à 38°. Ces valeurs sont des ordres de grandeur issus de la littérature, à vérifier selon la discipline.

Exemple

v₀ = 10 m/s à 45°, même altitude : R = 100/9,81 ≈ 10,2 m. Les trajectoires à angles complémentaires (30° et 60°) ont la même portée mais pas la même hauteur ni la même durée.

Limites du modèle

La résistance de l'air, la rotation (effet Magnus) et les vents modifient fortement les trajectoires de balles, ballons et javelots. Pour un corps humain en saut, la trajectoire du centre de gravité (et non de la tête ou du pied) est celle qui est parabolique.

🎯 À retenir

MRUA : trois équations valables uniquement si a est constante.
Projectile sans air : x en MRU, y en MRUA avec a = −g.
À altitude égale, portée maximale à 45° ; angles complémentaires = même portée.
Lâcher en hauteur : angle optimal < 45°.
C'est le centre de gravité qui suit une parabole, pas un segment.
L'air (traînée, Magnus) peut invalider le modèle parabolique.

R = v₀² · sin(2θ) / g

Portée (altitude égale)

R : portée (m)
v₀ : vitesse initiale (m/s)
θ : angle de lancer
g = 9,81 m/s²

📌 v₀ = 10 m/s, θ = 45° : R = 100 × 1 / 9,81 ≈ 10,19 m.

tan θ = v₀ / √(v₀² + 2·g·h)

Angle optimal avec hauteur de lâcher

h : hauteur de lâcher (m)

📌 v₀ = 13,5 m/s, h = 2 m : tan θ = 13,5/√(182,25+39,24) ≈ 0,907 → θ ≈ 42°.

⚠️ Erreurs fréquentes

Appliquer R = v₀²sin2θ/g quand le point d'arrivée n'est pas à la même altitude que le lâcher.
Mélanger degrés et radians sur la calculatrice.
Croire que la masse du projectile influence la trajectoire sans air.

Pour s'entraîner

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