L1
Cinématique linéaire : position, vitesse, accélération
La cinématique décrit le mouvement sans en chercher les causes (les forces relèvent de la dynamique). Pour un point matériel, on repère sa position x(t) dans un référentiel (axes, origine, unités), puis on en déduit la vitesse et l'accélération.
Définitions
- Déplacement : Δx = x₂ − x₁ (grandeur vectorielle, en m). À distinguer de la distance parcourue, toujours positive : un 400 m sur piste donne un déplacement nul mais 400 m de distance.
- Vitesse moyenne : v̄ = Δx / Δt. Vitesse instantanée : v = dx/dt, pente de la tangente à la courbe x(t).
- Accélération : a = dv/dt, en m·s⁻². Une vitesse constante donne a = 0 ; un freinage en course correspond à une accélération de signe opposé à la vitesse.
Dérivation numérique et lecture des graphes
En analyse vidéo, on obtient des positions échantillonnées. La vitesse se calcule par différences finies centrées : v(i) ≈ [x(i+1) − x(i−1)] / (2Δt). Dériver amplifie le bruit : l'accélération issue de positions brutes est très imprécise, d'où le filtrage (voir chapitre capteurs). Sur un graphe v(t), la pente donne l'accélération et l'aire sous la courbe donne le déplacement.
Exemple sportif
Un sprinter passe de 0 à 9 m/s en 3 s : accélération moyenne = 9/3 = 3 m·s⁻². En réalité l'accélération est maximale au départ (de l'ordre de 5 à 9 m·s⁻² sur les premiers appuis selon le niveau) puis décroît vers zéro quand la vitesse maximale est atteinte : la moyenne cache cette évolution.
Vecteurs et composantes
Mouvement 2D : on traite séparément les composantes horizontale et verticale (indépendantes en cinématique). La vitesse résultante vaut v = √(vx² + vy²) et son orientation θ = arctan(vy/vx). Attention au repère : on fixe une convention de signe (par exemple y vers le haut) et on la conserve jusqu'au bout du calcul.
🎯 À retenir
- Cinématique = description du mouvement ; dynamique = causes (forces).
- Vitesse = dérivée de la position ; accélération = dérivée de la vitesse.
- Déplacement (vecteur) ≠ distance parcourue (scalaire).
- Aire sous v(t) = déplacement ; pente de v(t) = accélération.
- Dériver des données mesurées amplifie le bruit : filtrer avant.
- Les composantes x et y se traitent indépendamment.
- v̄ : vitesse moyenne (m/s)
- Δx : déplacement (m)
- Δt : durée (s)
- Δt = 1/fréquence d'échantillonnage (s)
⚠️ Erreurs fréquentes
- Confondre vitesse (vecteur) et vitesse scalaire, ou déplacement et distance.
- Oublier la conversion km/h → m/s (diviser par 3,6).
- Dériver deux fois des positions brutes sans filtrage : l'accélération obtenue est dominée par le bruit.